Softonic

Özdeğer Hesaplayıcı

Adım 1 / 4 A matrisi
Birinci satır

Bu özdeğer hesaplayıcı, gerçek bir 2×2 matrisi dört elemanından yola çıkarak çözer. Araç izi, determinantı, karakteristik polinomu, diskriminantı ve özdeğerleri hesaplar; iki özdeğer birbirinden farklı ve gerçekse gerçek özvektörleri de gösterir. Doğrusal cebir ödevleri, mühendislik modellerinde hızlı kontroller ve küçük bir matrisi elle köşegenleştirmeden önceki doğrulama için tasarlandı.

Özdeğerler nasıl bulunur

  1. 1

    Matris elemanlarını girin

    A = [[a, b], [c, d]] matrisi için a, b, c ve d değerlerini doldurun. Ondalıklı ve negatif değerler kabul edilir.

  2. 2

    Karakteristik denklemi kurun

    Hesaplayıcı iz T = a + d ve determinant D = ad - bc değerlerinden λ² - Tλ + D = 0 denklemini oluşturur.

  3. 3

    Kökleri sınıflandırın

    Diskriminant T² - 4D, özdeğerlerin iki gerçek değer mi, bir katlı kök mü yoksa eşlenik karmaşık bir çift mi olduğunu belirler.

2×2 matris için formül

A = [[a, b], [c, d]] için özdeğerler şu denklemin kökleridir:

det(A - λI) = 0

Bu determinantı açtığınızda şunu elde edersiniz:

λ² - Tλ + D = 0

Burada:

  • T = a + d izdir.
  • D = ad - bc determinanttır.
  • Δ = T² - 4D diskriminanttır.

Buradan:

λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2

Çözümlü örnek

A = [[2, 1], [1, 2]] için iz T = 2 + 2 = 4, determinant ise D = 2·2 - 1·1 = 3 olur. Karakteristik polinom şudur:

λ² - 4λ + 3 = 0

Diskriminant Δ = 4² - 4·3 = 4 olduğundan özdeğerler:

λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3

λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1

3 özdeğerine karşılık gelen bir özvektör [1, 1], 1 özdeğerine karşılık gelen bir özvektör ise [1, -1] olur. Bu vektörlerin sıfırdan farklı her skaler katı da geçerli bir özvektördür.

Diskriminant ne anlama gelir

Diskriminant Δ Özdeğer durumu Ne beklemelisiniz
Δ > 0 İki gerçek özdeğer Birbirinden farklı iki gerçek kök ve 2×2 bir matris için, matris gerçek sayılar üzerinde köşegenleştirilebiliyorsa iki bağımsız özvektör.
Δ = 0 Katlı özdeğer Tek bir çift katlı kök. Özuzay bir ya da iki boyutlu olabilir; köşegenleştirme önemliyse özvektörleri ayrıca kontrol edin.
Δ < 0 Eşlenik karmaşık çift Gerçek özdeğer yoktur. Köklerin gerçek kısımları aynı, sanal kısımları zıt işaretlidir.

Sık yapılan hatalar

  • A - λI ifadesini yanlış kurmak. Yalnızca köşegen elemanları değişir: a - λ ve d - λ.
  • Determinantta işareti unutmak. 2×2 bir matriste D = ad - bc olur, ad + bc değil.
  • Katlı özdeğeri otomatik olarak köşegenleştirilebilir saymak. Çift katlı bir kökün yine de yeterli sayıda bağımsız özvektöre ihtiyacı vardır.
  • Çok erken yuvarlamak. İzi, determinantı ve diskriminantı olabildiğince uzun süre tam değerleriyle tutun; özellikle ondalıklı sayılarda.

Sık Sorulan Sorular

Araç gerçek 2×2 matrislere odaklanır. Böylece sonuç şeffaf kalır: her değer izden, determinanttan ve ikinci dereceden karakteristik polinomdan gelir.

Evet. Diskriminant T² - 4D negatifse özdeğerler eşlenik karmaşık bir çift oluşturur. [[0, -1], [1, 0]] gibi bir döndürme matrisi bunun klasik örneğidir.

Hesaplayıcı, birbirinden farklı gerçek özdeğerlerde özvektörleri gösterir; çünkü o durumda her kök için basit bir gerçek vektör verilebilir. Katlı ve karmaşık durumlar ek bağlam gerektirdiğinden araç orada özdeğerlere ve sınıflandırmaya odaklanır.

Herhangi bir dosya yüklemesi yoktur. Girilen elemanlar sayfa bileşeni tarafından işlenerek iz, determinant, polinom ve özdeğerler üretilir.

İlgili Araçlar

eGFR Hesaplayıcısı

Irk terimi içermeyen 2021 CKD-EPI kreatinin denklemiyle serum kreatinin, yaş ve cinsiyetten eGFR tahmin edin. Sonuç mL/min/1,73 m² birimindedir.

5K tempo hesaplayıcı

Bir 5K koşusunu istediğiniz sürede bitirmek için gereken km ve mil temposunu, ayrıca saate girebileceğiniz 1K ara sürelerini hesaplayın.

Asfalt hesaplama aracı

Bir araç yolu, otopark veya yol için ne kadar asfalt gerektiğini hesaplayın. Uzunluk, genişlik ve kalınlığı girerek ton, fit kare, kübik yarda ve toplam maliyeti öğrenin.

Nakit Çekmeli Yeniden Finansman Hesaplayıcısı

Nakit çekmeli yeniden finansmanın etkisini hesaplayın: yeni aylık taksit, elde edilen nakit, işlem masrafları ve mevcut kredinize göre başabaş noktası.

Anüite Hesaplayıcı

Sabit veya değişken ödemelerle bir anüitenin bugünkü ya da gelecek değerini hesaplayın; hemen başlayan ve ertelenmiş yapıları karşılaştırın.

Roth IRA Hesaplayıcı

ABD Roth IRA birikiminin yıllık katkı, beklenen getiri ve emekliliğe kalan yıla göre nasıl büyüyebileceğini tahmin edin. Katkıları, büyümeyi ve vergi sonrası karşılaştırmayı gösterir.