Üç Katlı İntegral Hesaplayıcı
Üç katlı integraller, üç boyutlu bölgeler üzerinde hacim, kütle ve akıyı hesaplar — bir kutu gibi Kartezyen bir bölgenin düz sınırları olduğu ama iki paraboloid arasındaki katının dikkatli integral sırası kararları gerektirdiği türden problemler. Bu hesaplayıcı, belirttiğiniz sınırlar üzerinde ∭f(x,y,z) dV'yi değerlendirir, Kartezyen, silindirik ve küresel koordinatları destekler ve her ters türev adımını gösterir.
Bir üç katlı integral nasıl hesaplanır
-
1
f(x,y,z) girin
İntegrand. Standart gösterim: x*y*z, x^2+y^2, sin(x)*cos(y).
-
2
Bir koordinat sistemi seçin
Kartezyen (dx dy dz), silindirik (r dr dθ dz) veya küresel (ρ² sin(φ) dρ dφ dθ).
-
3
Sınırları ayarlayın
Üç değişkenin her biri için — sabitler ya da diğerlerinin fonksiyonları.
-
4
İntegral sırasını seçin
dzdydx, dxdydz vb. Seçim matematiği büyük ölçüde basitleştirebilir.
-
5
Adım adım değerlendirmeyi görün
Önce iç integral, sonra orta, sonra dış; her aşamada ters türevlerle.
Üç koordinat sistemi ne işe yarar
| Sistem | Hacim elemanı | En uygun olduğu durum |
|---|---|---|
| Kartezyen | dx dy dz | Kutular, prizmalar, genel simetrik olmayan bölgeler |
| Silindirik | r dr dθ dz | Silindirler, koniler, dönel yüzeyler |
| Küresel | ρ² sin(φ) dρ dφ dθ | Toplar, küre dilimleri, kütleçekim problemleri |
Yanlış sistemi kullanmak önemsiz bir integrali bir kâbusa çevirir. Kartezyende integre edilen 1 yarıçaplı bir topun karmaşık √(1 − x² − y²) sınırları vardır; küreselde ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ'dir, temiz ve ayrıştırılabilir.
Yaygın problemler
- Kütle: ∭ρ(x,y,z) dV, burada ρ yoğunluktur.
- Kütle merkezi: ∭x ρ dV / toplam kütle, y ve z için benzer.
- Atalet momenti: seçilen bir eksen etrafında ∭r² ρ dV.
- Hacim: ∭1 dV — integrand 1'dir, bölgenin hacmini hesaplamaya indirgenir.
İntegral sırasını değiştirmek
İç sınırın dış değişkenin bir fonksiyonu olarak güzelce ifade edilemediği bir bölge için sırayı değiştirmek çoğu zaman yardımcı olur. Bölgeyi çizin, istediğiniz iç-dış düzleme yansıtın ve sınırları yeniden türetin.
Çözümlü örnek: bir kürenin hacmi
Küresel koordinatlarda, birim top {x²+y²+z² ≤ 1}:
V = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π [ρ³/3]₀¹ sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π (1/3) sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π (1/3)[-cos(φ)]₀π dθ
= ∫₀²π (2/3) dθ
= 4π/3
Ünlü V = (4/3)πr³ üç temiz adımda ortaya çıkar — Kartezyende aynı integral birden çok sayfadır.
Sayısal geri dönüş
Bazı integrallerin kapalı formda ters türevi yoktur. Sembolik integral başarısız olduğunda, hesaplayıcı sayısal dörtleme yöntemine geri döner ve bir hata tahminiyle birlikte yaklaşık bir değer döndürür.
Sık Sorulan Sorular
Çoğu zaman sınırlar yanlıştı. Üç katlı integral sınırları iç değişkenlere bağlı olabilir ve yanlış sıralama matematiksel olarak farklı integraller üretir. Önce bölgeyi çizin, sonra sınırları dikkatlice türetin.
Hesaplayıcı sayısal yöntemlere (uyarlamalı dörtleme) geçer. Sembolik bir ifade yerine bir hata sınırıyla birlikte sayısal bir cevap alırsınız.
Bölge bir nokta etrafında tam 3 boyutlu simetriye sahip olduğunda küresel (toplar, bir noktadan koniler). Eksenel simetri olduğunda silindirik (silindirler, bir eksen etrafında dönel yüzeyler). İkisi de yoksa Kartezyen.
Hayır. Tüm hesaplama tarayıcınızda çalışır.