Karekök Hesaplayıcı
Pozitif bir sayı girin; hesaplayıcı karekökünü 15 basamağa kadar ondalık biçimde ve mümkünse kesin sadeleştirilmiş köklü biçimde döndürsün — √72, 6√2 olur, √200, 10√2 olur. Tam kareler için bir tam sayı alırsınız; negatifler için sanal birim dışarı çekilmiş hâliyle i gösterimini alırsınız.
Kök nasıl hesaplanır
-
1
Kök içini girin
Kökün altındaki sayı. Pozitif, negatif ya da sıfır.
-
2
Ondalık biçim
IEEE 754 karekök komutuyla hesaplanır — 15 anlamlı basamağa kadar doğru.
-
3
Sadeleştirilmiş köklü biçim
Tam kare bölenleri dışarı alın. √72 = √(36 × 2) = 6√2.
-
4
İşlemi göster
Adım adım çarpanlara ayırma gösterilir; böylece onu elle yeniden üretebilirsiniz.
Bilinmesi gereken tam kareler
| n | n² | √(n²) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 16 | 4 |
| 5 | 25 | 5 |
| 10 | 100 | 10 |
| 11 | 121 | 11 |
| 12 | 144 | 12 |
| 13 | 169 | 13 |
| 14 | 196 | 14 |
| 15 | 225 | 15 |
| 16 | 256 | 16 |
| 25 | 625 | 25 |
Tam olmayan karelerin sadeleştirilmesi
İşin püf noktası en büyük tam kare çarpanı bulmaktır:
- √50 = √(25 × 2) = 5√2
- √72 = √(36 × 2) = 6√2
- √108 = √(36 × 3) = 6√3
- √500 = √(100 × 5) = 10√5
- √1000 = √(100 × 10) = 10√10
Sonuçta hâlâ kare olmayan bir çarpan varsa tekrarlayın: √180 = √(36 × 5) = 6√5, √(4 × 45) = 2√45 değil (tam sadeleştirilmemiş).
Yaygın ondalık değerler
- √2 ≈ 1.41421 (birim karede Pisagor)
- √3 ≈ 1.73205 (bir küpün köşegeni)
- √5 ≈ 2.23607 (altın oran (1+√5)/2'de görünür)
- √7 ≈ 2.64575
- √π ≈ 1.77245 (istatistikte, Gauss integrallerinde kullanılır)
- √10 ≈ 3.16228
- √(1000) ≈ 31.6228 (her 10 kat, √'yi ~3.16 kat artırır)
Negatif sayılar ve sanallar
Negatif bir sayının karekökü gerçeklerde tanımlı değildir. Karmaşık sayılarda, pozitif x için √(−x) = i√x. Yani √(−4) = 2i. Hesaplayıcı negatif girdiler için ondalık yerine sanal biçimi raporlar.
Karekök ile n. dereceden kök
Hesaplayıcı kare (2.) kökleri ele alır. Küpkökler, dördüncü kökler vb. için genel bir n. dereceden kök aracı kullanın. Temel özdeşlikler:
- √(ab) = √a × √b (yalnızca a ve b negatif değilse)
- √(a/b) = √a / √b (yalnızca b > 0 ise)
- (√a)² = a (yalnızca a >= 0 ise)
Tarih notu
Kök sembolü √, 1500'lerde r harfinden (Latince kök anlamına gelen radix için) evrildi. Kökün altındakini sınırlamak için yatay çubuk (vinculum) 17. yüzyılda eklendi.
Sık Sorulan Sorular
Her pozitif sayının iki karekökü vardır: +x ve −x. Esas kök (negatif olmayan), √’nin genellikle ifade ettiği şeydir. İkinci derece denklemler her ikisini de kullanır.
Geleneğe göre yalnızca 5. √ esas (negatif olmayan) kökü döndürür. x² = 25’i çözerken hem 5 hem de −5 denklemi sağlar, bu yüzden x = ±5 yazarsınız.
Tarihsel yöntemler: basamak basamak uzun bölme algoritması, Newton’un yöntemi (yinelemeli: x_yeni = (x + a/x)/2) ya da tam kare zengini sayıların kökleri için çarpanla-sadeleştir. Newton’un yöntemi hızla yakınsar — üç yineleme çoğu girdi için 10 basamak doğruluk verir.
Yunanlılar tarafından çelişkiyle kanıtlandı: √2 = p/q en sade hâliyle ise, o zaman 2q² = p², p’yi çift yapar, dolayısıyla p = 2k, sonra 2q² = 4k², q² = 2k² verir, q’yu da çift yapar — en sade hâl ile çelişir. Yani √2 bir kesir olamaz; irrasyoneldir.