Entegral Kalkülatörü
x’de (veya herhangi bir değişkende) bir ifade girin; hesaplayıcı belirli bir aralıkta ya sembolik ters türevi ya da sayısal değerini geri verir. Polinomlar, trigonometrik, üssel, logaritmik ve rasyonel fonksiyonlar ile yaygın yer değiştirme yöntemleri ve parçalı entegrasyonu işler; işlem aşamalarını kontrol etmek isterseniz bu adımlar gösterilir.
Bir integrali nasıl değerlendiririz?
-
1
İntegrandı girin
Fonksiyonu `x^2 + 3*sin(x)` veya `1 / (x^2 + 1)` gibi yazın. Boşluklarla gizli çarpım kabul edilir.
-
2
Belirli veya belirsiz seçin
Belirli bir integral için alt ve üst sınırları belirleyin (`inf` ve `-inf` desteklerini kullanın).
-
3
Yapı
Araç önce sembolik bir çözüm denemektedir; bu başarısız olursa sayısal kademeli hesaplamaya geçer.
-
4
Adımları okuyun
İsteğe bağlı olarak adım adım yapılan genişletme işlemi, substitüsyon yöntemi, parçalara ayırma yöntemi veya kısmi fraksiyon ayrıştırma yöntemini gösterir.
Yaygın anti türev ilaçları
| f(x) | Entegral |
|---|---|
| x^n (n != -1) | x^(n+1) / (n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| e^x | e^x + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| sec²(x) | tan(x) + C |
| 1 / (x^2 + 1) | arctan (x) + C |
| 1 / sqrt (1 - x^2) | arcsin (x) + C |
Aracı tarafından denenen teknikler sırası
- Temel kurallar – güç, üst üste katlanma (eksponansiyel), trigonometrik fonksiyonlar.
- Yer değiştirme (u-sub) — integralde bir fonksiyonu ve türevini belirleyin.
- Bölümler bazında entegrasyon – Farklı fonksiyonel tipteki ürünler için
∫u dv = uv - ∫v du. - Parçalı fraksiyonlar –
P(x)/Q(x)vedeg(P) < deg(Q)’ye sahip rasyonel integralandlar için. - Trigonometrik kimlikler – sinüs ve kosinus ürünlerine ilişkin.
- Sayısal kademeli hesaplama — Kapalı bir ifade mevcut olmadığı durumlarda kesin integraller için Gauss-Kronrod yöntemi.
Kesin integral notasyonu
∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
Temel teorema şunu belirtir: Eğer F, f’in antiderivatifi ise, a’dan b’e kadar olan kesikli integral F(b) - F(a)’e eşittir. Bu araç önce F’yi hesaplar ve ardından sınırlarında değerini değerlendirir.
Yaygın Hatalar
+ C’i bırakın. Her belirsiz integralin bir entegrasyon sabiti vardır. Bu bilgi araç tarafından gösterilir; el yazısıyla yazan öğrenciler genellikle bunu unuturlar.- Uygun olmayan integraller için yanlış sınırlar:
∫_0^∞ e^(-x) dx = 1, ancak∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx = sqrt(π). Her zaman konverjans kontrol edilmelidir. - Pay ifadesi gerçek köklere sahip
(x-a)(x-b)olarak verildiğinde arctanh yerine arctan kullanılmalıdır; çünkü bu bir logaritmandır, arctan değildir. - U-substitüsyonda zincir kuralını unutmak: Eğer
u = 3xisedu = 3 dx’dir,du = dxdeğildir.
Kapalı forma sahip olmadığı durumlarda
Bazı integrallerin basit bir ters türevi yoktur — e^(-x^2), sin(x)/x, 1/ln(x). Belirli bir aralıkta bu integrallerin sayısal değerleri bulunur ve araç bu değerleri yüksek doğrulukla hesaplar.
Sık Sorulan Sorular
Belirli bir integral için araç sayısal kademeli hesaplama yönteminde (Gauss-Kronrod) devam eder ve bir hata tahminiyle birlikte bir değer döndürür. Elementer ters türevi olmayan belirsiz bir integral için ise bu durumu bildirir ve alternatif olarak bir seri serbestleme sunar.
Evet. Değişkeni netleştirmek için ifadeyi örtünleleyin; örneğin integrate(t^2, t). Herhangi bir tek harfli değişken kullanılabilir.
Evet. “Adımları göster” seçeneğini etkinleştirince araç, kullandığı yer değiştirme yöntemi, parçalara ayırma seçimi veya kısmi fraksiyon ayrıştırma yöntemini her seferinde tek bir satır olarak yazdırır.
Evet, ancak net bir sonuç almak için aralığı sıfır geçiş noktalarında bölmeniz gerekebilir. Araç, mümkün olduğunda işaretleri otomatik olarak tespit ederek \|x\|’i işler.