RREF Hesaplayıcı

İndirgenmiş satır basamak formu ne demektir?

Bir matris, sıfır olmayan her satırın ilk elemanı 1 olduğunda, her ilk 1 üst satırdakinden daha sağda bulunduğunda, pivot sütunundaki diğer bütün elemanlar sıfır olduğunda ve tüm sıfır satırları en altta yer aldığında indirgenmiş satır basamak formundadır. Bu ilk 1 değerleri pivot elemanlardır.

RREF, matrisin sayısal yapısını tutarlı biçimde ortaya çıkarır. Pivot sütunları pivotların yerini, kalan sütunlar ise serbest sütunları gösterir. Rank pivot sayısıdır. n sütunlu bir matris için burada gösterilen sıfırlık, n eksi ranktır ve serbest sütun sayısına eşittir.

Bu araç sütunları 1’den başlayarak numaralandırır. Sonuçta pivot sütunları 1 ve 3 olarak gösteriliyorsa bunlar girdiğiniz matrisin birinci ve üçüncü sütunlarıdır.

Gösterilen satır işlemleri

Hesaplayıcı üç standart elementer satır işlemini kullanır:

• İki satırın yerini değiştirme.
• Bir satırı sıfır olmayan bir sayıyla çarpma.
• Bir satırı, kendisinden başka bir satırın katını çıkararak değiştirme.

Hesaplayıcı her pivot sütunu için kalan satırlar arasından mutlak değeri en büyük pivot adayını seçer. Kısmi pivotlama denen bu adım, daha büyük bir değer varken daha küçük bir değere bölmeyi önleyen sayısal bir korumadır. Seçilen satır yerine taşınır, pivotu 1 olacak şekilde ölçeklenir ve pivotun üstündeki ve altındaki elemanlar sıfırlanır. Elementer satır işlemleri listesinde her adımın ardından oluşan matris gösterilir.

Geçerli satır işlemi dizileri ara adımlarda farklı görünebilir. Son indirgenmiş satır basamak formu, sonlu duyarlıklı aritmetiğin küçük etkileri dışında aynıdır.

Çözümlü sayısal örnek

Varsayılan matris

için indirgenmiş satır basamak formu şöyledir:

1 ve 3. sütunlarda iki pivot bulunduğundan rank 2’dir. 2. sütun serbesttir ve sıfırlık 3 - 2 = 1 olur. Hesaplayıcı yalnızca son matrisi göstermek yerine bu sonuca ulaşırken kullandığı satır işlemlerinin tam sırasını gösterir.

Rank, sıfırlık, pivot sütunları ve serbest sütunlar

Rank, indirgenmiş matristeki pivot konumlarının sayısıdır. Matrisin sütun uzayının boyutunu belirtir ve RREF biçimindeki sıfır olmayan satır sayısına da eşittir.

Sıfırlık, matrisin sıfır uzayının boyutudur. Rankı r olan m × n boyutlu bir matris için rank-sıfırlık ilişkisi şöyledir:

rank + sıfırlık = sütun sayısı, başka bir ifadeyle r + sıfırlık = n.

Hesaplayıcı bu değerleri doğrudan sayısal indirgemeden belirler. Bir matriste serbest sütun bulunmayabilir; bu durumda sıfırlık sıfırdır. Geniş bir dikdörtgen matrisin birden fazla serbest sütunu olabilir, bağımlı veya sıfır satırlar içeren bir matrisin rankı ise satır sayısından düşük olabilir.

Girdi kuralları ve sayısal tolerans

Her matris satırını ayrı bir metin satırına yazın. Türkçe sayfada virgül ondalık ayırıcı olduğundan elemanları boşluk, noktalı virgül (;) veya dikey çizgi (|) ile ayırın. Boş satırlar yok sayılır, ancak boş olmayan bütün satırlar aynı uzunlukta olmalıdır. Tamsayılar, ondalık sayılar ve 2,5e-3 gibi bilimsel gösterimler kullanılabilir. Her değer sonlu ve -1000000 ile 1000000 arasında olmalıdır.

Hesaplayıcı kayan noktalı aritmetik kullanır. İndirgeme sırasında mutlak değeri 1e-10 değerinden küçük sayılar sıfır kabul edilir. Bu tolerans, küçük yuvarlama artıklarının sahte pivotlar gibi görünmesini önler; ancak tekilliğe yakın matrisler dersinizin veya uygulamanızın duyarlılık gereksinimlerine göre ayrıca kontrol edilmelidir.

Bu hesaplayıcı ne yapmaz?

Bu bir sayısal matris indirgeme aracıdır, sembolik cebir sistemi değildir. Değişkenleri, ifade olarak yazılmış kesirleri, köklü ifadeleri veya formülleri kabul etmez. Determinant ya da ters matris hesaplamaz; parametrik çözüm üretmez, satırları denklemlere dönüştürmez veya ayrıca tanımlanan bir sistemin tutarlı olup olmadığına karar vermez.

Satır indirgemesini incelemek için sayısal bir genişletilmiş matris girebilirsiniz, ancak araç bütün sütunları tek bir matrisin parçası sayar. Genişletme sınırını tanımaz ve son sütunu sabitler olarak yorumlamaz. Gösterilen RREF biçimini ve sütun bilgilerini matris çıktısı olarak kullanın, ardından kendi lineer cebir probleminizin gerektirdiği kuralları uygulayın.