Matris Determinant Hesaplayıcı

Determinant size ne söyler

• Sıfırdan farklı: matris tersinirdir; sütunları doğrusal olarak bağımsızdır; birebir örten bir doğrusal dönüşüm tanımlar.
• Sıfır: matris tekildir; sütunları doğrusal olarak bağımlıdır; dönüşüm en az bir boyutu çökertir.
• İşaret: pozitif, doğrusal dönüşümün yönelimi koruduğunu; negatif ise onu ters çevirdiğini (ayna görüntüsü gibi) gösterir.
• Büyüklük: |det(A)|, dönüşümün n boyutlu hacmi ölçekleme çarpanıdır. det = 3 olan bir 2×2 matris alanları 3 katına çıkarır; det = −2 alanları 2 katına çıkarır ve ters çevirir.

Küçük durumlar: elle yapın

2×2:

det([[a, b], [c, d]]) = a·d − b·c

3×3 (Sarrus kuralı):

[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]] için det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg).

Daha büyük durumlar: LU kullanın

Bir 4×4 determinantı kofaktör açılımıyla elle hesaplamak 4! = 24 çarpma gerektirir. 6×6 ise 720 gerektirir. LU ayrıştırması işi O(n³) düzeyine indirir: A = LU şeklinde ayrıştırın; burada L köşegen elemanları 1 olan alt üçgen matris, U ise üst üçgen matristir; o zaman det(A) = det(L)·det(U) = ∏ u_ii olur.

Bilmeye değer özellikler

• det(AB) = det(A)·det(B).
• det(A^T) = det(A).
• det(A^−1) = 1 / det(A).
• n×n matris için det(kA) = k^n · det(A).
• İki satırın yerini değiştirmek determinantın işaretini değiştirir.
• Bir satırın katını başka bir satıra eklemek determinantı değiştirmez.
• Herhangi bir satır (veya sütun) tamamen sıfırsa determinant sıfırdır.

Yaygın hatalar

• Kofaktör açılımında işaret desenini unutmak: + − + − + − .... (i,j) kofaktörü, (−1)^(i+j) ile minörün çarpımıdır.
• Üç sıfır içeren bir satır varken sıfırdan farklı elemanları olan bir satır boyunca açılım yapmak. İşi kolaylaştırmak için en çok sıfır içeren satırı veya sütunu seçin.
• det(A+B) = det(A) + det(B) olduğunu varsaymak. Bu doğru değildir. Determinant çarpımsaldır, toplamsal değildir.