Doğrusal Regresyon Hesaplayıcısı

N adet veri noktası (x_i, y_i) verildiğinde, sıradan en küçük kareler yöntemiyle hesaplanan eğim ve kesit noktası şu şekildedir:

m = Σ((x_i − x̄)(y_i − ȳ)) / Σ((x_i − x̄)²)
b = ȳ − m · x̄

R² – belirleme katsayısı – x tarafından açıklanan y değişkenindeki varyansın oranıdır:

R² = 1 − SS_res / SS_tot

Burada SS_res, kare kalıntıların toplamıdır ve SS_tot ise y’nin ortalamasından elde edilen kare sapmaların toplamıdır. Pearson r değeri ±√R²’dir ve eğimin işaretini taşır.

Uygulama örneği

Beş veri noktası:

x = 3, y = 4,2. Kovaryans numeratörü = (1–3)(2–4,2) + (2–3)(4–4,2) + (3–3)(5–4,2) + (4–3)(4–4,2) + (5–3)(6–4,2) = 4,4 + 0,2 + 0 – 0,2 + 3,6 = 8,0. X değişkeninin varyans numeratörü = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10.

• Eğim m = 8,0 / 10 = 0,8
• Kesme noktası b = 4,2 − 0,8 × 3 = 1,8
• Denklem: y = 0,8x + 1,8
• R² ≈ 0,727

Sayıların size ne anlattığı (ve ne anlatmadığı)

• Eğim m, “x’in bir birimi başına y’nin ne kadar değiştiğini” belirtir ve birimi y/x’tir.
• Kesme noktası b, “x = 0 olduğunda y nedir?” sorusuna verilen cevaptır. Bu değer yalnızca verilerinizde x = 0 olma durumu makul ise anlamlıdır.
• R², nedensellik değil, uyum kalitesini ölçer. Gürültüsüz temsil verilerinde yüksek bir R² değeri bile anlamsız olabilir.
• Pearson r, doğrusal ilişkiyi ölçer. r değeri 0’a yakın olup güçlü bir eğrisel ilişki gösterse bile bu “doğrusal uyum yoktur” anlamına gelir; “hiçbir ilişki yoktur” anlamına gelmez.

Tuzaklar

• Aşırı değerler, kayıp fonksiyonunun kareli olması nedeniyle OLS tahminlerini önemli ölçüde bozar; tek bir sapma noktası çizgiyi 20 derece dönebilir.
• Doğrusallık olmaması, yalnızca R² ile tespit edilemez; her zaman kalan değerleri x’e karşı grafik olarak gösterin.
• Regresyon simetrik değildir: y’yi x’e göre uydurmak, x’i y’ye göre uydurmaktan farklı bir doğru verir.
• Verilerinizin kapsamının ötesine uzanan tahminler spekülasyondur; uyum analizi yalnızca gözlemlediği aralığı bilir.