Softonic

Kübik Denklem Çözücü

Adım 1 / 3 ax³ + bx² + cx + d = 0 çöz
Sonraki

Bir kübik denklemin genel formu ax³ + bx² + cx + d = 0 olup kompleks sayılar üzerinde her zaman üç kökü vardır. Dört katsayı girildiğinde çözücü, Cardano formülü kullanılarak sonuçları verir: diskriminant negatif olduğunda üç gerçek kök; diskriminant pozitif olduğunda bir gerçek kök ve bir kompleks konjuge çifti; diskriminant sıfır olduğunda ise çift kök yapıya sahiptir.

Çözücünün kökleri nasıl bulur

  1. 1

    Katsayıları girin

    Dört sayı: a, b, c, d. Baş katsayı a sıfır olmamalıdır; aksi takdirde denklem kübik değil, ikinci derecedendir.

  2. 2

    İndirgenmiş kübik

    Çözücü, kare terimi ortadan kaldırmak için denklemi -b/(3a) ile kaydırarak `t³ + pt + q = 0` biçimini elde eder.

  3. 3

    Ayrıcı kontrol

    Δ = (q/2)² + (p/3)³ izlenecek yolu belirler: Δ > 0 ise bir gerçek kök, Δ = 0 ise katlı (çift) kök ve Δ < 0 ise trigonometri kullanılarak üç gerçek kök elde edilir.

  4. 4

    Geri kaydırma

    t-uzayında bulunan her kök, x'i geri elde etmek için -b/(3a) kadar kaydırılır. Çözücü, uygulanabilir durumlarda bu kökleri azalan sırayla döndürür.

Diskriminant durumları ve anlamları

Cardano yöntemi, diskriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³ işaretine göre üç daldan birini izler. Kübik grafiğin geometrisi bunu tam olarak yansıtır.

Durum Tablosu

Diskriminant Kökler Grafik şekli
Δ > 0 1 gerçek, 2 kompleks eşlenik x eksenini bir kez keser
Δ = 0 3 gerçek, en az ikisi eşit x eksenine katlı kökte teğet geçer
Δ < 0 3 farklı gerçek kök x eksenini üç kez keser

Uygulama örneği

x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 için (katsayılar: 1, −6, 11, −6):

  • −b/(3a) = 2 kadar kaydırarak indirgenmiş formu elde edin: p = −1, q = 0.
  • Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0 olduğundan üç gerçek kök (trigonometrik) yolunu izleriz.
  • Trigonometrik formül üç farklı gerçek kökü verir: x = 1, 2 ve 3.

Sayısal Hususlar

  • Kayan nokta hatası, üç kök birbirine çok yakın olduğunda (neredeyse üçlü kök durumunda) ortaya çıkar. Gösterilen kökler, son birkaç ondalık basamakta gerçek değerlerden farklı olabilir.
  • Çok küçük bir a, b/(3a) değerini büyük hale getirir; bu da hesaplama sürecini etkileyerek hassasiyeti düşürür. Eğer |a| yaklaşık 1e-12’nin altındaysa, bunun yerine ikinci dereceden bir denkleme kullanarak çözün.
  • Tam sayı katsayıları en net sonuç verir: Rasyonel kökler, yüzer nokta yuvarlamasına kadar tam değerlerinde görünür.

İlgili Denklemler

  • İkinci dereceden: ax² + bx + c = 0. İkinci Derece Denklem Çözücü’yü kullanın, kapalı formda ve daha basittir.
  • Kuartik: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. Ferrari yöntemi bir çözücü kübiğe indirgenir; burada ele alınmamıştır.
  • İndirgenmiş kübik: Kaydırmayı atlamak ve x³ + px + q = 0’yi doğrudan girmek için b = 0 olarak ayarlayın.

Sık Sorulan Sorular

Denklem artık kübik değildir. Çözücü bu durumda işleme devam etmeyi reddeder; bu nedenle bx² + cx + d = 0 için İkinci Derece Denklem Çözücü’ye geçin.

Bu durumda çözücü tek bir gerçek kök geri gönderir. Diğer iki kök ise Cardano formülü tarafından kapalı biçimde verilen karmaşık konjuge çiftidir; sembolik bir cevap için ihtiyaç duyuluyorsa bunları -x1/2 ± (√3/2) × i × modül olarak hesaplayın.

Cardano yönteminin sayısal uygulamaları, yüzer noktalı yuvarlama nedeniyle yaklaşık 1e-15 ölçeğinde kalanlar oluşturabilir. 1e-10’un altındaki değerleri gerçek sayı olarak kabul edin; bu çözücü zaten Δ < 0 şubesi için bu kalanları filtrelemektedir.

Dört katsayı, köklerin hesaplanması için yalnızca sunucuya gönderilir ve saklanmaz. Adım adım görünümü kullandığınızda katsayılar, sayfa bağlantısında da görünür.

İlgili Araçlar

Harçlık Hesaplayıcı

"Yaş yılı başına sabit tutar" kuralı ve görev bazlı varyantlarla yaşa uygun çocuk harçlığı hesaplayın; bütçeleme için yıllık toplamlar dahil.

Pil Ömrü Hesaplayıcı

Bir pilin kapasitesine (mAh), çektiği akıma (mA) ve bir deşarj verimliliği faktörüne göre ne kadar dayanacağını hesaplayın. Çalışma süresini saat, gün ve dakika olarak öğrenin.

CPU ve GPU Darboğaz Hesaplayıcı

Aynı oyun sahnesinde ölçülen CPU ve GPU kare sürelerini karşılaştırın, FPS tavanını tahmin edin, tolerans uygulayın ve sonucun neyi kanıtlayıp kanıtlayamayacağını anlayın.

Hava kanalı boyut hesaplayıcısı

Hava debisi ve hedef hızdan dairesel veya dikdörtgen kanal boyutlarını tahmin edin ya da mevcut bir kanaldaki hava hızını kontrol edin.

Snowboard Boyu Hesaplayıcısı

Kilo, boy, bot numarası, seviye ve sürüş tarzına göre yetişkinler için klasik snowboard uzunluk aralığını ve genişlik kategorisini tahmin edin; ardından modelin tablosunu kontrol edin.

Anüite Hesaplayıcı

Bir anüitenin dönem başına ödemesini, toplam ödenen tutarını ve toplam faizini toplu tutardan (anapara), yıllık orandan, vadeden ve ödeme sıklığından hesaplayın. Kredi amortismanı ve toplu tutardan yapılan ödemeler için uygundur.

Araç diğer dillerde mevcuttur