Softonic

Taylor Serisi Hesaplayıcı

Adım 1 / 3 Yaklaşım
Sonraki

Bir Taylor serisi, bir fonksiyonu tek bir noktadaki türevlerinden kurulan bir polinom olarak yeniden yazarak eğrileri cebire çevirir. Beş fonksiyondan birini, bir a merkez noktasını ve bir n terim sayısını seçin; bu hesaplayıcı Taylor polinomunun her terimini katsayısı ve değeriyle listeler, bunları bir yaklaşımda toplar ve bu yaklaşımı tam değerle karşılaştırır, böylece terim ekledikçe hatanın küçüldüğünü görürsünüz.

Bir Taylor açılımı nasıl hesaplanır

  1. 1

    Bir fonksiyon seçin

    Beş yerleşik fonksiyondan birini seçin: eˣ, sin(x), cos(x), ln(x) veya arctan(x).

  2. 2

    a merkez noktasını seçin

    a = 0 Maclaurin serisini verir; başka herhangi bir nokta orada bir Taylor serisi verir. ln(x) için merkez noktası 0'dan büyük olmalıdır.

  3. 3

    n terim sayısını belirleyin

    1 ile 50 arasında herhangi bir değer. Daha fazla terim, merkeze yakın daha iyi doğruluk demektir.

  4. 4

    Ayrıntıyı okuyun

    Her terimi (k dizini, katsayı ve değer), toplanan yaklaşımı, tam değeri ve ikisi arasındaki mutlak hatayı görün.

Formül

a’da sonsuz türevlenebilir bir f(x) fonksiyonu için, a etrafındaki Taylor serisi şudur:

f(x) = Σ (f^(n)(a) / n!) · (x - a)^n     n = 0, 1, 2, ... için

a = 0 olduğunda bu Maclaurin serisine sadeleşir, çoğu giriş kalkülüs dersinin önce öğrettiği açılım.

Bu hesaplayıcının açtığı fonksiyonlar

Hesaplayıcı bu beş fonksiyonu sunar. Gösterilen seriler Maclaurin biçimindedir (a = 0); ln(x) hariç, çünkü 0’da tanımlı olmadığı için Maclaurin serisi yoktur ve a > 0 merkez noktası gerektirir.

Fonksiyon Seri (belirtilmedikçe a = 0 etrafında) Şunun için yakınsar
eˣ 1 + x + x²/2! + x³/3! + … tüm reel x
sin(x) x − x³/3! + x⁵/5! − … tüm reel x
cos(x) 1 − x²/2! + x⁴/4! − … tüm reel x
ln(x) (merkez a>0) ln(a) + (x−a)/a − (x−a)²/2a² + … 0 < x ≤ 2a
arctan(x) x − x³/3 + x⁵/5 − … −1 ≤ x ≤ 1

Çözülmüş örnek: x = 1’de eˣ

Varsayılan ayarlarla (fonksiyon eˣ, merkez a = 0, 8 terim, x = 1’de değerlendirme) her katsayı 1/k!’dir ve (x − a)^k = 1 olduğundan her terim katsayısına eşittir:

k katsayı terim değeri
0 1 1
1 1 1
2 0.5 0.5
3 0.166667 0.166667
4 0.041667 0.041667
5 0.008333 0.008333
6 0.001389 0.001389
7 0.000198 0.000198

Sekiz terim 2.7182540’a toplanır. e’nin tam değeri 2.7182818’dir, dolayısıyla mutlak hata yaklaşık 0.0000279’dur. Daha fazla terim ekleyin, bu hata küçülmeye devam eder.

Taylor serileri neden her yerde görünür

  • Hesap makineleri sin, cos, exp’i dahili olarak kesilmiş Taylor (ve CORDIC) polinomları kullanarak hesaplar.
  • Fizikçiler, bir denge etrafında yalnızca ilk birkaç terimi tutarak denklemleri doğrusallaştırır, sin(x) ≈ x gibi küçük açı yaklaşımları böyle ortaya çıkar.
  • Sayısal yöntemler (Runge-Kutta, Newton yöntemi) perde arkasında Taylor açılımlarıdır.

Püf nokta: yakınsama

Bir Taylor serisi yalnızca yakınsadığı yerde kullanışlıdır. arctan(x)‘in Maclaurin serisinin yakınsama yarıçapı 1’dir, bu yüzden ona x = 2 verin ve arctan(2) ≈ 1.107 tamamen sonlu olsa bile seri patlar. Merkezin komşuluğunun ötesine ekstrapolasyon yapmadan önce her zaman yarıçapı kontrol edin.

Lagrange kalanı

n derecesinde kesmeden sonraki hata şununla sınırlıdır:

|R_n(x)| ≤ M · |x - a|^(n+1) / (n+1)!

burada M, aralıktaki (n+1)inci türev üzerindeki bir üst sınırdır. Bu teorik bir tavandır; hesaplayıcı bunun yerine gerçek mutlak hatayı, yani yaklaşımı ile tam değer arasındaki farkı bildirir.

Sık Sorulan Sorular

Bir Maclaurin serisi sadece a = 0 etrafında açılan bir Taylor serisidir. Her Maclaurin serisi bir Taylor serisidir; etiket, sıfır-merkezli durum için tarihsel bir kısaltmadır. Bu araçta merkezi 0’a ayarlarsanız Maclaurin serisini elde edersiniz.

Sıfırdan uzak belirli bir x değerine yakın iyi bir yaklaşım istediğinizde. ln(x)’i x = 2 yakınında yaklaşıklamak için merkezi a = 2 yapın; orada daha hızlı yakınsar ve ln(x) için zaten pozitif bir merkez gerekir.

Yalnızca merkez noktasında sonsuz türevlenebilirse. Analitik olmayan örneklerin (örneğin f(0) = 0 ile f(x) = e^(-1/x²)) 0’da tüm türevleri sıfırdır ama başka yerlerde sıfır değildir, bu yüzden Taylor serisi yanlış cevaba yakınsar.

Merkezden ne kadar uzakta hesapladığınıza ve yüksek türevlerin büyüklüğüne bağlıdır. Araçtaki mutlak hata sütununu izleyin: hata belirgin biçimde küçülmeyi bırakana kadar terim sayısını artırın.

İlgili Araçlar

İsim Uyumu Hesaplayıcı

İki isim girin; eğlenceli bir uyum puanının yanı sıra her ismin Pisagor numeroloji sayısını görün. Araç yalnızca Latin harflerini (A-Z) okur, bu yüzden Türkçe harfleri sadeleştirerek yazın.

Korelasyon Katsayısı Hesaplayıcısı

Çift X/Y verilerinden Pearson korelasyon katsayısını (r) hesaplayın. Kullanılan çift sayısıyla birlikte r ve r-kare değerini gösterir.

Kaç Gün Önce Hesaplayıcı

Bir gün sayısı girin; bugünden o kadar gün önceye denk gelen kesin takvim tarihini, haftanın günü de gösterilerek alın.

CPU ve GPU Darboğaz Hesaplayıcı

Aynı oyun sahnesinde ölçülen CPU ve GPU kare sürelerini karşılaştırın, FPS tavanını tahmin edin, tolerans uygulayın ve sonucun neyi kanıtlayıp kanıtlayamayacağını anlayın.

ABD Donanması Vücut Yağ Oranı Hesaplayıcı

Boyun, bel ve kalça ölçülerinizi santimetre olarak girin; ABD Donanması (US Navy) çevre ölçüm yöntemiyle vücut yağ oranınızı tahmin edin.

Süre hesaplayıcı

İki saat arasındaki süreyi HH:MM, ondalık saat, dakika ve saniye olarak hesaplayın.

Araç diğer dillerde mevcuttur