Kare Tamamlama Hesaplayıcısı
ax²+bx+c biçiminde ikinci dereceden bir ifade verildiğinde, kare tamamlama işlemi bunu a(x-h)²+k biçiminde yeniden yazar ve parabolün tepe noktasını (h, k) doğrudan ortaya çıkarır. a, b ve c değerlerini girin; hesaplayıcı, tepe noktası formu a(x − h)² + k ile tepe koordinatlarını (h, k) birlikte verir. Analiz (calculus), fizik (eğik atış hareketi), eniyileme problemleri ve cebir ödevleri için oldukça yararlıdır.
Kare tamamlama nasıl çalışır
-
1
a, b ve c katsayılarını girin
İkinci dereceden ifade ax² + bx + c. Ondalık sayı girin; 1/2 gibi bir kesri 0,5 olarak yazın.
-
2
x² ve x terimlerinden a'yı çarpan olarak ayırın
a(x² + (b/a)x) + c, sabit terimi x'li terimlerden ayırır.
-
3
(b/(2a))² ifadesini ekleyip çıkarın
Tam kare oluşturur: a(x² + (b/a)x + (b/(2a))²) − a(b/(2a))² + c.
-
4
Tepe noktası formuna indirgeyin
a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)) = a(x − h)² + k, burada h = −b/(2a) ve k = c − b²/(4a).
Çözümlü örnek: 2x² + 8x + 5
Adım 1, x’li terimlerden a = 2’yi çarpan olarak ayırın: 2(x² + 4x) + 5
Adım 2, 4’ün yarısı 2, karesi ise 4’tür. Parantez içinde 4 ekleyip 4 çıkarın: 2(x² + 4x + 4 − 4) + 5
Adım 3, tam kare ve kalan kısım olarak ayırın: 2((x + 2)² − 4) + 5
Adım 4, 2’yi dağıtın: 2(x + 2)² − 8 + 5
Adım 5, sabit terimi sadeleştirin: 2(x + 2)² − 3
Tepe noktası formu: a = 2, h = −2, k = −3 → tepe noktası (−2, −3).
Genel formül
ax² + bx + c için:
- h = −b / (2a)
- k = c − b² / (4a)
- Tepe noktası formu: a(x − h)² + k
Neden kare tamamlanır?
- Parabol çizimi için tepe noktasını anında bulun.
- İkinci dereceden formülü kullanmadan ikinci dereceden denklemleri çözün, özellikle irrasyonel kökler için yararlıdır.
- İkinci dereceden formülün kendisini türetin: ax² + bx + c = 0 ifadesinde kare tamamlamak, x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) sonucunu verir.
- Analiz (calculus): türev almadan ikinci dereceden fonksiyonların uç değerlerini bulun.
- Eğik atış hareketi: yukarı doğru atılan bir topun ulaştığı en yüksek nokta, yükseklik denkleminin tepe noktası formundaki k değeridir.
- Çemberler ve konik kesitler: hem x hem de y terimlerinde kare tamamlamak, x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ifadesini (x−h)² + (y−k)² = r² biçimine dönüştürür; böylece merkez ve yarıçap açıkça görülür.
Tepe noktası formundan parabol geometrisi
- Tepe noktası: (h, k).
- Simetri ekseni: x = h.
- a > 0 ise yukarı doğru açılır, a < 0 ise aşağı doğru açılır.
- Fonksiyonun en büyük veya en küçük değeri: k.
- Genişlik: |a| > 1 için daha dar, |a| < 1 için daha geniştir.
- Kökler (gerçek ise): x = h ± √(−k/a). Yalnızca k/a ≤ 0 olduğunda gerçektir.
Sık yapılan hatalar
- Parantez içinde kareyi tamamladıktan sonra a’yı dağıtmayı unutmak. Düzeltme terimi değişir.
- b/(2a) işaret hataları: h = −b/(2a)’dır, +b/(2a) değil.
- Kareye almadan önce orta katsayıyı yarıya bölmemek. Yerleşik ifade şudur: “b’nin a’ya bölümünün yarısı, sonra karesi”.
- a ≠ 1 değerini olduğu gibi bırakmak: sadeleştirmek için onu her zaman önce çarpan olarak ayırın.
Özel durum: a = 1
a = 1 olduğunda işlem sadeleşir:
- x² + bx + c → (x + b/2)² + (c − b²/4)
- h = −b/2, k = c − b²/4
Negatif k gerçek kökler anlamına gelir
k’nin işareti a’nın işaretinin tersiyse, parabol x eksenini keser. Bu kesişim noktalarını bulmak için a(x − h)² = −k denklemini çözün.
Sık Sorulan Sorular
Kare tamamlama, tepe noktasını (grafiğin şeklini) doğrudan ortaya koyar; ikinci dereceden formül ise kökleri verir. İkisinin de kendine göre kullanımı vardır: y = 0 olan yeri bulmak istediğinizde kökler, şekli, en büyük veya en küçük değeri ya da simetri eksenini istediğinizde tepe noktası formu kullanılır.
Katsayıları ondalık sayı olarak girin; 1/2 veya 3/4 gibi kesirler 0,5 veya 0,75 olarak yazılır. Sonuçlar normal bir hesap makinesindeki kayan nokta duyarlılığıyla hesaplanır.
Bu sürüm tek değişkenli ikinci dereceden ifadeleri işler. x ve y değişkenlerindeki konik kesitler (çemberler, elipsler) için her değişkende ayrı ayrı kare tamamlayın, işlem aynıdır, iki kez uygulanır.
Tepe noktası formu yine de geçerlidir; parabol yalnızca x eksenini kesmediği için gerçek kök yoktur. Hesaplayıcı, tepe noktası formunu ve tepe koordinatlarını vermeye devam eder.
İlgili Araçlar
Pil Ömrü Hesaplayıcı
Bir pilin kapasitesine (mAh), çektiği akıma (mA) ve bir deşarj verimliliği faktörüne göre ne kadar dayanacağını hesaplayın. Çalışma süresini saat, gün ve dakika olarak öğrenin.
CPU ve GPU Darboğaz Hesaplayıcı
Aynı oyun sahnesinde ölçülen CPU ve GPU kare sürelerini karşılaştırın, FPS tavanını tahmin edin, tolerans uygulayın ve sonucun neyi kanıtlayıp kanıtlayamayacağını anlayın.
Harçlık Hesaplayıcı
"Yaş yılı başına sabit tutar" kuralı ve görev bazlı varyantlarla yaşa uygun çocuk harçlığı hesaplayın; bütçeleme için yıllık toplamlar dahil.
Snowboard Boyu Hesaplayıcısı
Kilo, boy, bot numarası, seviye ve sürüş tarzına göre yetişkinler için klasik snowboard uzunluk aralığını ve genişlik kategorisini tahmin edin; ardından modelin tablosunu kontrol edin.
Ekşi Maya Hidrasyon Hesaplayıcı
Ekşi mayadaki un ve suyu da katarak gerçek hamur hidrasyonunu ve hedef yüzde için gereken su ya da un eklemesini hesaplayın.
10K Tempo Hesaplayıcı
10K hedefiniz için kilometre ve mil başına gereken tempoyu, 5K ara geçişini ve koşu bandı için km/h ile mph hız karşılıklarını hesaplayın.