Softonic

Kombinasyon Hesaplayıcısı

Adım 1 / 3
Sonraki

C(n, k), yani “n’den k’yi seçmek”, sıralamanın önemli olmadığı durumlarda n’den k öğe seçmenin sayısıdır. 10 malzemeden 3’ünü seçmek için C(10, 3) = 120 kullanılır. 52 karttan 5 kartlı eller oluşturmak için ise C(52, 5) = 2.598.960 kullanılır. Bu hesaplayıcı n değerlerini 170’e kadar kabul eder, keyfi duyarlıklı aritmetikle tam sayı sonucunu verir (bilimsel notasyondan kaynaklanan yuvarlama olmaz) ve buna karşılık gelen permütasyon sayısını P(n, k) da gösterir.

Kombinasyonlar nasıl hesaplanır?

  1. 1

    n ve k'yi girin.

    Her ikisi de k ≤ n olan negatif olmayan tam sayılar. n, küme büyüklüğüdür; k ise seçim büyüklüğüdür. 170'in üzerindeki değerler sınırlanır.

  2. 2

    Formül uygulanmıştır

    C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). Araç ayrıca sıralı seçimlerin sayısı olan P(n, k)'yi de hesaplar.

  3. 3

    Tam sayı olarak kesin çıktı

    Hesaplama kesin tam sayı aritmetiği kullandığından, C(170, 85) gibi büyük değerlerde bile hiçbir basamak kaybolmaz.

  4. 4

    Her iki sonuç da gösterilir

    Kombinasyonlar C(n, k) ve permütasyonlar P(n, k) birlikte gösterilir; P(n, k) = C(n, k) × k!.

Formül

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

Eşdeğer ifade: C(n, k) = (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / k!

Uygulamalı örnekler

  • C(10, 3) = 120: 10 malzemeden 3’ünü seçmenin yolları.
  • C(52, 5) = 2.598.960: Standart bir desteden oluşan 5 kartlık poker elleri.
  • C(49, 6) = 13.983.816: Birleşik Krallık Ulusal Piyangosu ana çekilişinin kombinasyonları.
  • C(70, 5) × 25 = 302.575.350: Mega Millions büyük ikramiye kombinasyonları (70’ten 5 ana top + 25’ten 1 Mega top).
  • C(100, 50) ≈ 1,01 × 10²⁹: 100 öğeli bir kümenin yarısı büyüklüğündeki alt kümeler.

Kombinasyonlar vs Permutasyonlar

  • Kombinasyon C(n, k): sıralama önemli değildir; {A, B, C} seçimi ile {C, B, A} seçimi aynıdır.
  • Permütasyon P(n, k): sıralama önemlidir. {A, B, C}, {C, B, A}’dan farklıdır.
  • İlişki: P(n, k) = C(n, k) × k!

Loteri çekimleri kombinasyonlardır (topların sırası önemli değildir). Yarışta sonuç pozisyonları ise permutasyonlardır (birinci, ikinci ve üçüncü sıralar önemlidir).

Pascal üçgeni

C(n, k), şu şekilde düzenlendiğinde Pascal üçgenini oluşturur:

            1
           1 1
          1 2 1
         1 3 3 1
        1 4 6 4 1
       1 5 10 10 5 1
      1 6 15 20 15 6 1

Her bir öğe C(n, k), üzerindeki iki öğenin toplamıdır: C(n–1, k–1) + C(n–1, k). Simetriktir: C(n, k) = C(n, n–k).

Özellikler

  • C(n, 0) = C(n, n) = 1: Hiçbir şey seçmemenin ya da her şeyi seçmenin yalnızca bir yolu vardır.
  • C(n, 1) = n: Bir öğeyi seçmenin n farklı yolu.
  • n. satırın toplamı: Σ C(n, k), k=0’dan n’e kadar = 2ⁿ. Bir n öğeli kümenin tüm alt kümelerinin toplam sayısı.
  • Hokey sopası: Σ C(i, k), i=k’dan n’e kadar = C(n+1, k+1).

Gerçek dünya uygulamaları

  • Piyango olasılığı: Çekilen sayıların tam olarak tutması için 1/C(n, k).
  • Örnekleme tasarımı: bir popülasyondan test gruplarını seçmek.
  • Genetik: Olası çocukların genotiplerinin sayılması.
  • Çizelgeleme: Lig usulü (round-robin) turnuvalar C(takım, 2) maç gerektirir.
  • Binom dağılımı: P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^{n-k}.
  • Komite seçimi: 20 üyenin 5’lik bir komitesini oluşturmanın yolları = C(20, 5) = 15.504.

Büyük sayılar: yine de kesin

Sonuçlar hızla büyür: C(100, 50) zaten 30 basamaklıdır. Hesaplayıcı n’yi 170 ile sınırlar; bu, piyangolar, komiteler ve örnekleme gibi tüm pratik kullanımları kapsar ve kayan nokta yerine keyfi duyarlıklı tam sayı aritmetiği kullandığı için her yanıt kesin kalır.

Sık Sorulan Sorular

Dahil edilecek k öğeyi seçmek, hariç tutulacak n–k öğeyi seçmekle matematiksel olarak eşdeğerdir; her iki durumda da aynı sayıda düzenleme söz konusudur. C(10, 3) = C(10, 7) = 120’dir.

Kurala göre, k > n olduğunda C(n, k) = 0’dır; çünkü sahip olduğunuz öğelerden fazlasını seçemezsiniz. Hesaplayıcı bu durumu belirterek 0 döndürür.

Hesaplayıcı n’yi 170’e kadar kabul eder ve her zaman kesin tam sayıyı döndürür. Standart lotere ve olasılık problemlerinde n neredeyse her zaman 100’ün altında olur.

Hayır. “Tekrarlı kombinasyonlar” (çoklu küme olarak da bilinir) farklı bir formül kullanır: C(n+k−1, k). Bu araç bu formülü hesaplamaz; bu durumu ayrı bir problem olarak ele alın.

İlgili Araçlar

CPU ve GPU Darboğaz Hesaplayıcı

Aynı oyun sahnesinde ölçülen CPU ve GPU kare sürelerini karşılaştırın, FPS tavanını tahmin edin, tolerans uygulayın ve sonucun neyi kanıtlayıp kanıtlayamayacağını anlayın.

Pil Ömrü Hesaplayıcı

Bir pilin kapasitesine (mAh), çektiği akıma (mA) ve bir deşarj verimliliği faktörüne göre ne kadar dayanacağını hesaplayın. Çalışma süresini saat, gün ve dakika olarak öğrenin.

Harçlık Hesaplayıcı

"Yaş yılı başına sabit tutar" kuralı ve görev bazlı varyantlarla yaşa uygun çocuk harçlığı hesaplayın; bütçeleme için yıllık toplamlar dahil.

Snowboard Boyu Hesaplayıcısı

Kilo, boy, bot numarası, seviye ve sürüş tarzına göre yetişkinler için klasik snowboard uzunluk aralığını ve genişlik kategorisini tahmin edin; ardından modelin tablosunu kontrol edin.

10K Tempo Hesaplayıcı

10K hedefiniz için kilometre ve mil başına gereken tempoyu, 5K ara geçişini ve koşu bandı için km/h ile mph hız karşılıklarını hesaplayın.

Ekşi Maya Hidrasyon Hesaplayıcı

Ekşi mayadaki un ve suyu da katarak gerçek hamur hidrasyonunu ve hedef yüzde için gereken su ya da un eklemesini hesaplayın.