Softonic

Doğrusal Yaklaşım Hesaplayıcı

Adım 1 / 3 Doğrusal yaklaşım

Değişken olarak x, üs için ^ kullanın. Fonksiyonların argümanlarını parantez içine yazın. Çarpımları 2x, 3(x + 1) veya 2*x biçiminde yazabilirsiniz. Kullanabileceğiniz fonksiyonlar ve sabitler: sqrt, cbrt, exp, ln, log, sin, cos, tan, asin, acos, atan, abs, pi, e

Örnekler

Sonraki: a noktası

Bu doğrusal yaklaşım (lineer yaklaşım) hesaplayıcı, bir f fonksiyonunun a noktasındaki doğrusallaştırmasını, yani L(x) = f(a) + f’(a)(x - a) teğet doğrusunu bulur ve bu doğruyu a noktasına yakın bir x için f(x) değerini tahmin etmekte kullanır. Fonksiyonu, a noktasını ve bir tahmin istiyorsanız x değerini yazın. L(x) hem sayılarıyla açık biçimde hem de eğim-kesim biçiminde gösterilir. Bunların yanında f(a) ve f’(a) değerlerini, doğrusal tahmini ve gerçek değeri yan yana, mutlak ve yüzde hatayı ve bir kalkülüs dersinde beklendiği gibi adım adım çözümü görürsünüz.

Doğrusal yaklaşım nasıl bulunur

  1. 1

    f(x) fonksiyonunu yazın

    Değişken olarak x kullanın, örneğin sqrt(x), x^3 - 2x, ln(x), sin(x), e^x veya 1/x. Üsler ^ ile yazılır, fonksiyonların argümanları parantez içine alınır.

  2. 2

    a noktasını girin

    f değerinin kolay hesaplandığı bir nokta seçin, örneğin sqrt(x) için 4 ya da sin(x) için pi/6. Hesaplayıcı önce fonksiyonunuzu okuduğu biçimde gösterir. Böylece e^(2x) yerine e^2x yazmak gibi bir hata sonuçtan önce fark edilir.

  3. 3

    Tahmin yapılacak x değerini ekleyin (isteğe bağlı)

    a noktasına yakın bir x seçin, örneğin 4,1. Yalnızca doğrusallaştırmaya ihtiyacınız varsa boş bırakın.

  4. 4

    L(x), tahmin ve hatayı okuyun

    Sonuçta L(x) hem f(a) + f'(a)(x - a) biçiminde hem de eğim-kesim biçiminde verilir. Ayrıca f(a), f'(a), L(x) tahmini, gerçek f(x), iki hata ve çözümün her adımı yer alır.

Doğrusallaştırma formülü ve ne zaman işe yaradığı

Bir f fonksiyonunun a noktasındaki doğrusallaştırması, (a, f(a)) noktasından geçen ve orada eğriyle aynı eğime sahip olan doğrudur:

L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)

a noktasının yakınında eğri ile teğet doğrusu neredeyse aynıdır, bu yüzden L(x), f(x) için hızlı bir tahmin verir. Buna teğet doğrusu yaklaşımı, doğrusal (lineer) yaklaşım ya da birinci dereceden Taylor polinomu denir.

Çözümlü örnek: sqrt(4,1) değerini tahmin edin

  1. f(x) = sqrt(x) ve karekökün kolay alındığı en yakın nokta olan a = 4 seçilir.
  2. Fonksiyonun değeri hesaplanır: f(4) = 2.
  3. Türev alınır: f'(x) = 1/(2sqrt(x)), dolayısıyla f'(4) = 1/4 = 0,25.
  4. Doğru kurulur: L(x) = 2 + 0,25(x - 4), eğim-kesim biçiminde L(x) = 0,25x + 1.
  5. Tahmin yapılır: L(4,1) = 2 + 0,25(0,1) = 2,025.
  6. Karşılaştırılır: gerçek değer sqrt(4,1) = 2,024846 olduğundan mutlak hata 0,000154, yüzde hata ise yaklaşık %0,0076 olur.

Klasik doğrusal yaklaşımlar

Fonksiyon a noktası Doğrusallaştırma L(x) Tahmin Gerçek değer Mutlak hata
sqrt(x) 4 2 + 0,25(x - 4) L(4,1) = 2,025 2,024846 0,000154
cbrt(x) 8 2 + (1/12)(x - 8) L(8,1) = 2,008333 2,008299 0,000034
ln(x) 1 x - 1 L(1,1) = 0,1 0,095310 0,004690
sin(x) 0 x L(0,1) = 0,1 0,099833 0,000167
e^x 0 1 + x L(0,1) = 1,1 1,105171 0,005171
1/x 2 0,5 - 0,25(x - 2) L(2,1) = 0,475 0,476190 0,001190

Hata ne kadar büyük olur?

Doğrusal yaklaşımın hatası kabaca |f''(a)| / 2 × (x - a)^2 kadardır. Bundan iki sonuç çıkar:

  • Uzaklık önemlidir, hem de karesiyle. sqrt(x) için a = 4 noktasında hata x = 4,01 için 0,0000016; x = 4,1 için 0,000154; x = 4,5 için 0,0037 ve x = 5 için 0,0139 olur. On kat uzaklaşmak hatayı yaklaşık yüz kat büyütür.
  • Yönü eğrilik belirler. Grafiğin aşağı konkav olduğu yerde (sqrt(x), ln(x)) teğet doğrusu eğrinin üstünde kalır ve tahmin yüksek çıkar. Yukarı konkav olduğu yerde (e^x, pozitif x için 1/x) tahmin düşük çıkar. Hesaplayıcı hangi durumda olduğunuzu söyler.

Fonksiyon nasıl yazılır

İstediğiniz Yazın Notlar
Ondalık sayılar 0,25x, x^2,5, 4,1 Ondalık ayırıcı virgüldür. Nokta da kabul edilir (4.1), ama binlik ayırıcı kullanılmaz: 1.000 ve 1.234,5 iki şekilde okunabileceği için reddedilir, 2.025 de öyle. 1000 ve 2,025 yazın.
Üsler x^3, x^(1/2), e^(2x) Üs tek bir öğedir: e^2x, (e^2)x anlamına gelir. e^(2x) için parantez kullanın.
Çarpımlar 2x, 3(x + 1), 2sin(x), x*ln(x) Yan yana yazılan çarpanlar çarpılır.
Baştaki eksi -x^2 -(x^2) olarak okunur. -x ifadesinin karesi için (-x)^2 yazın.
Kökler sqrt(x), cbrt(x) cbrt, negatif x için de gerçek küp köktür. x^(1/3) negatif x için tanımsızdır, orada cbrt(x) kullanın; x^(2/3) yerine cbrt(x)^2 yazın.
Bilimsel gösterim 1e-3, 2E5, 1,5e+3 Bir sayının hemen ardından e ve bir üs gelirse sayı, on tabanlı kuvvet olarak okunur: 1e-3, 0,001 demektir. Sabit e’nin 2 katı için 2*e veya 2e^x yazın.
Logaritmalar ln(x), log(x) ln doğal logaritmadır. log 10 tabanındadır.
Trigonometri sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x), atan(x) Radyan. 30 derece için pi/6 girin. arcsin(x), arccos(x) ve arctan(x) yazımları da kabul edilir.
Diğer exp(x), abs(x), pi, e sin^2(x), (sin(x))^2 olarak okunur.

Doğrusallaştırmanın olmadığı noktalar

  • Tanım kümesinin dışı. a = 0 için ln(x), a = -1 için sqrt(x) ve a = 0 için 1/x bir değer almaz, yani teğet doğrusunun değeceği bir nokta yoktur.
  • Eğim yok. abs(x) fonksiyonunun 0 noktasında bir köşesi, sqrt(x) ve cbrt(x) fonksiyonlarının 0 noktasında düşey bir teğeti vardır. Fonksiyonun orada bir değeri vardır ama sonlu bir türevi yoktur, bu yüzden doğrusallaştırma da yoktur. Hesaplayıcı bunu söyler ve hesaplamaya çalıştığı türevi gösterir.

Sık Sorulan Sorular

Aynı fikrin iki adıdır. Doğrusallaştırma, L(x) = f(a) + f’(a)(x - a) fonksiyonudur, yani a noktasındaki teğet doğrusunun denklemidir. Doğrusal yaklaşım ise onunla yaptığınız iştir: a noktasına yakın x değerleri için L(x) ifadesini f(x) tahmini olarak kullanmak. Bu hesaplayıcı ikisini de verir, doğruyu da tahmini de.

Sembolik olarak, elle kullandığınız kurallarla: kuvvet, çarpım, bölüm ve zincir kuralları ile sqrt, exp, ln, log, trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonların ve abs fonksiyonunun standart türevleri. Sonra bu türevin a noktasındaki değerini hesaplar. Bu nedenle f’(a) sayısal bir tahmin değildir, olağan kayan nokta yuvarlaması dışında tamdır. Bulunan türev çözümde gösterilir. Hafifçe düzenlenmiştir ama tam olarak sadeleştirilmemiştir, bu yüzden kendi cevabınızdan farklı görünebilir ama ona eşittir.

Burada log(x) 10 tabanında logaritma, ln(x) ise doğal logaritmadır. Çoğu kalkülüs kitabında ve bilimsel hesap makinesinde kullanılan gösterim budur. Bazı yazılımlar log ifadesini doğal logaritma olarak okur, bu yüzden sorunuzda hangisinin kastedildiğini kontrol edin. Fonksiyonunuzda log varsa hesaplayıcı bunu sonuçtan önce hatırlatır.

Her zaman radyan. Türev kuralları, örneğin sin(x) fonksiyonunun türevinin cos(x) olması, yalnızca radyanda geçerlidir. 30 derecede çalışmak için a = pi/6, 45 derece için pi/4 girin. Hem a noktası hem de x; pi/6, e veya sqrt(2) gibi sabitleri kabul eder.

Sabit bir uzaklık yoktur: eğrinin a yakınında ne kadar keskin büküldüğüne bağlıdır. Hata, a noktasına olan uzaklığın karesiyle büyür. Yani uzaklığı yarıya indirmek hatayı yaklaşık dörtte birine düşürür. x değerinizi ekleyin ve mutlak hata ile yüzde hatayı okuyun. Hata amacınız için fazla büyükse x değerine daha yakın bir a noktası seçin.

Ya fonksiyonun a noktasında sonlu bir değeri yoktur, 0 noktasında ln(x) veya 1/x gibi, ya da değeri vardır ama sonlu bir eğimi yoktur, 0 noktasında abs(x) (köşe) veya sqrt(x) (düşey teğet) gibi. Nadir durumlarda, örneğin 0 noktasında x*abs(x) için, türev vardır ama kurallar orada 0/0 verir. Hesaplayıcı o zaman eğim olmadığını bildirir ve tahmin yürütmez. Yakındaki bir noktayı seçmek bunların hepsini çözer.

Değerler çift duyarlıklı olarak, yaklaşık 15 anlamlı basamakla hesaplanır ve 7 basamakla gösterilir. Eşittir işareti sayının tam olarak gösterildiğini, yaklaşık eşittir işareti ise yuvarlandığını belirtir. x değeri a noktasına, tahmin ile gerçek değerin 15 basamağın neredeyse tamamında aynı olacağı kadar yakınsa hata yalnızca anlamlı olan basamaklarla gösterilir.

Hayır. Yazdığınız fonksiyon ve sayılar, sonucu hesaplamak için sunucumuza gönderilir ve adımlar arasında ilerlerken sayfa bağlantısına eklenir. Böylece bir hesaplama yer imlerine eklenebilir veya paylaşılabilir. Hiçbir hesaba ya da profile kaydedilmez.

İlgili Araçlar

Süre hesaplayıcı

İki saat arasındaki süreyi HH:MM, ondalık saat, dakika ve saniye olarak hesaplayın.

Logaritma Hesaplayıcısı

Herhangi bir tabanda logaritmayı, doğal logaritma (ln), standart logaritma (log₁₀) veya özel taban, tam değeri ve hesaplama adımlarıyla hesaplayın.

İsim Uyumu Hesaplayıcı

İki isim girin ve numeroloji sayılarının nasıl uyuştuğunu görün: her ismin ifade ve ruh arzusu sayısı, hesabın her adımıyla birlikte. Sadece eğlence için.

Boy Karşılaştırma Grafiği

2 ila 10 kişi veya nesne için orantılı boy karşılaştırma grafiği oluşturun. Santimetre ya da fit ve inç girin, her ikili arasındaki farkı görün, SVG veya PNG indirin.

Adımdan KM'ye Dönüştürücü

Yürüme veya koşu adımlarını kilometreye dönüştürün. Boya ve tempoya göre ayarlanabilir adım uzunluğu, bir fitness takipçisiyle uzlaştıracak kadar doğru.

Şu Andan İtibaren Saat Hesaplayıcısı

Şu andan itibaren belirli sayıda saat sonrasının kesin saatini, gününü ve tarihini bulun; sonuç kendi saat diliminizde ve ayrıca UTC olarak gösterilir.

Araç diğer dillerde mevcuttur