Softonic

Karakteristik Polinom Hesaplayıcı

Adım 1 / 3 Karakteristik Polinom Hesaplayıcı
Matris boyutu
Matris elemanları

Tam sayı, 0,25 gibi ondalık sayı veya -3/4 gibi kesir girin. Tüm kutuları doldurun.

Sonraki: polinomun biçimi

Bir A kare matrisinin karakteristik polinomu det(A - λI) ifadesidir; kökleri A matrisinin özdeğerleri olan, λ değişkenli bir polinomdur. 2 × 2, 3 × 3 veya 4 × 4 bir matrisi doldurun; hesaplayıcı polinomu tam katsayılarla, ayrıca iz ve determinantı, 2 × 2 ve 3 × 3 matrisler için de reel özdeğerleri verir.

Karakteristik polinom nasıl bulunur

  1. 1

    Boyutu seçin ve tabloyu doldurun

    2 × 2, 3 × 3 veya 4 × 4 seçin, ardından her girdiyi tam sayı, 0,25 gibi bir ondalık sayı ya da -3/4 gibi bir kesir olarak yazın.

  2. 2

    Biçimi seçin

    Ders kitaplarındaki olağan biçim olan det(A - λI) ya da başkatsayısı her zaman 1 olan det(λI - A) biçimini seçin. 2 × 2 veya 4 × 4 gibi çift boyutlarda ikisi de aynı polinomu verir.

  3. 3

    Polinomu okuyun

    Sonuçta polinom, katsayılarının tablosu ile matrisinizin izi ve determinantı gösterilir.

  4. 4

    Özdeğerleri kontrol edin

    2 × 2 ve 3 × 3 matrisler için reel kökler katlılıklarıyla listelenir. 4 × 4 matris için yalnızca tam polinom verilir.

Karakteristik polinom size ne söyler

n × n boyutlu bir A matrisi için det(λI - A) polinomu şu biçimdedir:

λⁿ - (iz A)·λⁿ⁻¹ + ... + (-1)ⁿ·det A

Yani katsayılardan ikisi kolayca okunur: ikincisi, izin (köşegen girdilerinin toplamı) eksilisidir; sabit terim ise (-1)ⁿ işaretine kadar determinanttır. Kökler A matrisinin özdeğerleridir, toplamları izi, çarpımları determinantı verir. Cayley-Hamilton teoremine göre A matrisi kendi polinomunu da sağlar: λ yerine A matrisini koyarsanız sıfır matrisini elde edersiniz.

Katsayılar nasıl hesaplanır

Hesaplayıcı Faddeev-LeVerrier özyinelemesini kullanır. Birim matristen başlayarak Mₖ = A·Mₖ₋₁ + cₙ₋ₖ₊₁·I ile M₁, M₂, ... matris dizisini kurar ve her katsayıyı cₙ₋ₖ = -iz(A·Mₖ) / k olarak alır. Her girdi önce tam kesre çevrilir; bu yüzden katsayılar yuvarlanmış ondalık sayılar olarak değil, tam sayı veya kesir olarak çıkar.

Çözümlü örnek (3 × 3)

A = [[2, 0, 0], [0, 3, 4], [0, 4, 9]] için iz 2 + 3 + 9 = 14, determinant 2·(3·9 - 4·4) = 22 olur. Polinom:

λ³ - 14λ² + 35λ - 22

Bu polinom (λ - 1)(λ - 2)(λ - 11) biçiminde çarpanlarına ayrılır, yani özdeğerler 1, 2 ve 11’dir. det(A - λI) biçiminde tek boyutlarda tüm işaretler değişir: -λ³ + 14λ² - 35λ + 22.

Örnekler (2 × 2)

Matris A Karakteristik polinom Reel özdeğerler
[[2, 1], [1, 2]] λ² - 4λ + 3 1 ve 3
[[1, 2], [3, 4]] λ² - 5λ - 2 5,372281 ve -0,372281
[[2, 1], [0, 2]] λ² - 4λ + 4 2 (katlılık 2)
[[0, -1], [1, 0]] λ² + 1 yok (karmaşık çift)

Hesaplayıcının yapmadıkları

  • Yalnızca 2 × 2, 3 × 3 ve 4 × 4 boyutlarını destekler.
  • Girdiler en fazla dokuz basamaklı, ondalık sayılar ise en fazla altı ondalık basamaklı olabilir. Bilimsel gösterim kabul edilmez.
  • Özdeğerler altı basamağa yuvarlanmış ondalık sayılar olarak, yalnızca 2 × 2 ve 3 × 3 matrisler için ve yalnızca reel olanlar verilir. Karmaşık özdeğerler ve özvektörler gösterilmez.

Sık Sorulan Sorular

n × n bir matris için aralarında (-1)ⁿ çarpanı kadar fark vardır. 2 × 2 ve 4 × 4 matrislerde ikisi aynıdır. 3 × 3 matriste işaretleri zıttır; kökler, yani özdeğerler ise aynıdır. Birçok ders kitabı det(A - λI) kullanır; yazılımlar ve bazı dersler ise det(λI - A) biçimini tercih eder.

Çünkü hesap tamdır. Matrisiniz kesir veya ondalık sayı içeriyorsa katsayılar genellikle kesir olur ve 5/6 yazmak 0,8333 yazmaktan daha doğrudur. Tam sayılardan oluşan matrisler her zaman tam sayı katsayılar verir.

Bu sayfa 4 × 4 matrisin tam karakteristik polinomunu verir, ancak dördüncü derece denklemi çözmez. Özdeğerleri bulmak için polinomu elle ya da bir kök bulucu ile çarpanlarına ayırın. 2 × 2 ve 3 × 3 matrislerde reel özdeğerler sizin için listelenir.

Bir kez, katlılığıyla birlikte listelenir; örneğin polinomu (λ - 2)² olan [[2, 1], [0, 2]] matrisi için λ = 2 (katlılık 2).

Hayır. A ve P⁻¹AP gibi benzer matrislerin karakteristik polinomu aynıdır; bu yüzden polinom, bir doğrusal dönüşümün iyi bir parmak izidir. Ancak aynı polinoma sahip iki matris her zaman benzer olmayabilir.

Hayır. Yazdığınız girdiler sonucu hesaplamak için sunucumuza gönderilir ve adımlar arasında geçerken sayfa bağlantısına eklenir; böylece hesap yer imine eklenebilir veya paylaşılabilir. Hiçbir hesaba ya da profile kaydedilmezler.

İlgili Araçlar

Süre hesaplayıcı

İki saat arasındaki süreyi HH:MM, ondalık saat, dakika ve saniye olarak hesaplayın.

Logaritma Hesaplayıcısı

Herhangi bir tabanda logaritmayı, doğal logaritma (ln), standart logaritma (log₁₀) veya özel taban, tam değeri ve hesaplama adımlarıyla hesaplayın.

İsim Uyumu Hesaplayıcı

İki isim girin ve numeroloji sayılarının nasıl uyuştuğunu görün: her ismin ifade ve ruh arzusu sayısı, hesabın her adımıyla birlikte. Sadece eğlence için.

Boy Karşılaştırma Grafiği

2 ila 10 kişi veya nesne için orantılı boy karşılaştırma grafiği oluşturun. Santimetre ya da fit ve inç girin, her ikili arasındaki farkı görün, SVG veya PNG indirin.

Adımdan KM'ye Dönüştürücü

Yürüme veya koşu adımlarını kilometreye dönüştürün. Boya ve tempoya göre ayarlanabilir adım uzunluğu, bir fitness takipçisiyle uzlaştıracak kadar doğru.

Şu Andan İtibaren Saat Hesaplayıcısı

Şu andan itibaren belirli sayıda saat sonrasının kesin saatini, gününü ve tarihini bulun; sonuç kendi saat diliminizde ve ayrıca UTC olarak gösterilir.

Araç diğer dillerde mevcuttur